鳴想: 2012

空間中的平面與直線
前面的單元探討了空間中基本要素⎯「點、直線、平面」的基本概念，以及它們
之間的關係。並且建立空間坐標系，把空間向量用坐標表示。
本單元則是透過空間向量，將空間中直線與平面的基本概念轉化成代數方程式加
以探討。
換句話說，本單元的核心內容大致上分成兩類：
(一)空間坐標中平面與直線的表示方式：
平面方程式、直線的參數式與比例式。
(二)利用方程式來表示點、直線與平面間的關係：
當它們有交點或交線時，可以求得交點、交線與交角；
當它們沒有交點時，就求它們的距離。
(甲)空間中的平面方程式
(1)回顧坐標平面上的直線方程式：
(a)平面坐標系中，只要知道斜率m 與點(x0,y0)就可以確定直線的位置，因此可以求出
直線的方程式y−y0=m(x−x0) (點斜式)。
(b)考慮平面上的直線L，P(3,−4)為L 上的任意點，直線L 的法向量n =(2,3)，
設 R(x,y)為L 上的一點
⇔ PR ⊥ n ⇔ PR ． n =0
⇔ (x−3,y+4)⋅(2,3)=0 ⇔ 2x+3y+6=0。
因此我們也可以用直線的法向量來求坐標平面上直線的方程式。
(2)平面的法線與法向量：
觀察平面上的直線，因為它的法向量與直線上的方向向量
垂直，因此有相同法向量的直線，它們的方向都會相同，
不是平行就是重合，所以在平面上，直線的法向量確定之
後，直線的方向就確定了。與平面上的直線相對照，在空
間中，垂直於同一平面的直線都會平行或重合，而垂直於
同一直線的平面也會平行或重合，因此在空間中，一個平
面只要指定了垂線的方向，那麼這些平面不是平行就是重
合，也就是說它們的「走向」被確定了，因此我們仿照平
面上的直線，引進「法向量」來描述空間中平面的「走向」。
平面的法線：若一直線 L 垂直於平面E，則稱此直線為平面E 的法線。
平面的法向量：
O
x
y
z

若直線L 為平面E 的法線，則直線L 的方向向量就稱為平面E 的法向量。
法向量的特性：
(a)設n 為平面的一個法向量，則t n (t≠0)亦為平面的一個法向量。
(b)若任取平面E 上的兩個相異點A、B，則AB⊥ n 。
(3)如何求平面的方程式：
(a)點法式：
若平面 E 法向量→■n =(a,b,c)且過點A(x0,y0,z0)，
則平面 E 的方程式為a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0。
[證明]：
在平面 E 上任取一點P 其坐標為(x,y,z)，則AP⊥→■n
所以(x−x0,y−y0,z−z0)⋅(a,b,c)=0
⇒a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0
反過來說滿足方程式a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0 的解Q(x,y,z)
⇒AQ⊥→■n ⇒Q 落在平面E 上。
(b)一般式：
將方程式 a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0 化簡可得ax+by+cz+d=0 的方程式。
我們將 ax+by+cz+d=0 稱為一般式。
一般式 ax+by+cz+d=0 的法向量為n =(a,b,c)
[證明]：
設 A(m,n,l)、B(p,q,r)在平面ax+by+cz+d=0 上，
驗證AB⋅(a,b,c)=(p−m,q−n,r−l)⋅(a,b,c) =a(p−m)+b(q−n)+c(r−l)=ap+bq+cr−(am+bn+cl)=0
故AB⊥→■n 因此 ax+by+cz+d=0 的法向量為→■n =(a,b,c)。
結論：掌握法向量→■n ，平面上的一點P，即可用點法式去表示平面方程式：
(a)已知平面E 的→■n =(a,b,c)，過P(x0,y0,z0) ⇒點法式：a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
(b)一般式：ax+by+cz+d=0， ⇒ 法向量→■n =(a,b,c)。

[問題與討論]：
(a)特殊平面的方程式如何表示：
xy 平面： yz 平面： zx 平面：
(b)如何去決定方程式2x+3y−6=0 的圖形。
x
y
O

[例題1] 已知一平面 E 和直線AB 垂直，A 為其垂足，若A(4,3,−2)，B(5,−2,1)，求平
面E 的方程式。Ans：x−5y+3z+17=0
(練習1) 求過點 P(2,−3,1)且法向量n =(2,−3,4)的平面方程式。Ans：2x−3y+4z=17
(練習2) 在空間中，連接點 P(2,1,3)與點Q(4,5,5)的線段
⎯
PQ之垂直平分面。
Ans：x+2y+z−13=0
(練習3) 設 P、Q 為平面E：ax+by+cz=5 上相異兩點，且PQ=(x0 , y0 , z0)，則
PQ．(a,b,c)= 。 Ans：0
(4)給不共線三點求平面方程式：
(a)從一個例子說起：
設 A(3，−1,1)、B(4,2,−1)、C(7,0,3)，求過A、B、C 三點的平面方程式。
[解法]：
設平面的法向量為→■n =(a,b,c)，
AB=(1,3,−2)、AC=(4,1,2)⇒ n ⊥AB且n ⊥AC，故n 為AB、AC的公垂向量
因為(AB×AC)⊥AB，(AB×AC)⊥AC，因此n //AB×AC=(8,−10,−11)
故可以取n =(8,−10,−11)，所求平面為8(x−3)−10(y+1)−11(z−1)=0。
(b)找公垂向量：
由前面的例子中，已知空間中兩個不平行的向量 a 、b ，因為
( a × b )⊥ a 且( a × b )⊥ b ，所以與a × b 平行的向量c ，會使得a ⊥ c 且
b ⊥ c 。故a 、b 的公垂向量為k( a × b )，k≠0。

[例題2] 求過點 P(1,1,1)且垂直平面3x+y−z+1=0 與4x−2y−z−5=0 之平面方程式。
Ans：3(x−1)+(y−1)+10(z−1)=0
(練習4) 求過三點 A(−3,1,2)、B(5,3,−7)、C(1,7,0)的平面方程式。
Ans：5x−2y+4z+9=0
(練習5) 一平面與平面 3x+2y+z+11=0 平行，且與三軸之截距和為22，試求其方
程式。Ans：3x+2y+z−12=0
注意：截距不是距離，是圖形與坐標軸交點之坐標值。
(練習6) 如圖，長方體 OABC−DEFG 中，
已知 B(1,3,0)、D(1,0,2)，求平面BDF 的方程式。
Ans：6x+2y+3z=12
(練習7) 試求過點 A(2,1,−1)、B(1,1,2)二點且與平面
7x+4y−4z=0 垂直之平面的方程式。
Ans：12x−17y+4z−3=0
(練習8) 平面過 G(−1,2−3)且此點恰為平面在x,y,z 軸上截點所成三角形之重心，
求此平面方程式。 Ans：6x−3y+2z+18=0
(練習9) 平面 E 之法向量為(3,−2,1)，且三截距和為13，求E 的方程式。
Ans：15x−10y+5z−78=0
(練習10) 平面 E 包含2x+y−4=0 與y+2z=0 之交線且
(1)通過點(2,−1,1)時，平面E 的方程式。
(2)垂直於平面3x+2y−3z−6=0 時，平面E 的方程式。
Ans：(1)x+y+z−2=0 (2)2x+3y+4z=4
F
D E
B
O
A
G
C
x
y
z

z
A
P
t v
L
x y
v
(乙)空間中的直線方程式
(1)空間中直線的參數式
坐標平面上的直線
在坐標平面上，一直線 L 過A(x0,y0)，且與一向量→■v =(a,b)(→■v ≠→■0 )平行。
若(x,y)為L 上任意點，則
⎩ ⎨ ⎧
= +
= +
y y bt
x x at
0
0 ，t 為一實數，這個式子稱為L 的參數式。
證明：設 P(x,y)為直線L 上任一點，
AP//→■v ⇔ AP=t→■v ⇔ (x−x0,y−y0)=t(a,b)
所以
⎩ ⎨ ⎧
= +
= +
y y bt
x x at
0
0 ，t 為實數。
不管是空間坐標或是平面坐標，直線的方向向量都可以定義成直線上兩個相異點所形
成的向量。換句話說，方向向量會與直線平行，也就是說空間中的直線也可以用方向
向量來表示其方向，因此我們不禁要問：若空間坐標系中，一直線L 通過點A(x0,y0,z0)
且方向向量→■v =(a,b,c)，那麼直線L 如何表示呢？
空間坐標中的直線
坐標平面上，只要給定直線的方向向量與線上的一點，就可以用參數式來表示直線上
的點。當直線置於空間坐標中，仍然可以利用參數式來表示直線。
空間坐標系中，一直線L通過點A(x0,y0,z0)且方向向量v =(a,b,c)，直線L如何表示呢？
設 P 點在直線L 上，由方向向量的意義，可得AP平行v 。
反過來說，若P 點滿足AP平行v (即直線AP 以v 為方向向量)，因為過A 點且以v
為方向向量的直線是唯一的(就是直線L)，因此P 點會落在直線L 上。
根據上面的討論，我們可以得知
「P 點在直線L 上」的充要條件是「AP// v 」。
設 P 點在直線L 上
⇔ AP// v
A
P
O
O

⇔ 存在一個實數 t，使得AP=t v ⇔ OP−OA= t v
⇔ OP=OA+t v (其中O 為原點)。
故OP=OA+t v 為直線L 的向量表徵。
(練習11)根據上面的說明，請在右圖中畫出滿足下列條件
的 P 點位置：
(1) OP=OA+2 v
(2) OP=OA+
−3
2 v
(3) 設B 點在直線L 上，且AB=3 v ，
試問 B 點所對應的參數t 的值等於多少？
根據上述的討論，當某個參數t 的值代入式子OP=OA+t v ，相對應可以找到一點P。
反過來說，直線上某一 P 點的位置會決定了一個參數t 的值。
現在我們將前面的結果用坐標來表示：
設 P(x,y,z)在直線L 上
⇔ OP=OA+t v (其中O 為原點)。
⇔ (x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(a,b,c)。
因此直線 L 上的點(x,y,z)都可以表成
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= +
= +
z z ct
y y bt
x x at
0
0
0
，
反過來說，型如(x0+a t, y0+bt , z0+ct)的點一定在直線L 上。
故我們稱
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= +
= +
z z ct
y y bt
x x at
0
0
0
(t 為實數) 為直線L 的參數方程式，簡稱參數式，
實數 t 稱為參數。
A
v
L
x
y
z
O

[例題3] 設 A，B 兩點的坐標為A（−1，4，3），B（2，3，5），
(1)求直線AB 的參數式；(2) 求線段
⎯
AB的參數式。
[解法]：(1)設P(x,y,z)為直線AB 上任一點，
⇔AP//AB
⇔AP=tAB，t 為實數
⇔(x+1,y−4,z−3)=t（3，−1，2），t 為實數
所以直線 AB 的參數式為
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= −
= − +
z t
y t
x t
3 2
4
1 3
(t 為實數)。
|(2) 設P(x,y,z)為線段AB 上任一點
⇔AP=tAB，其中0≤t≤1。
當 t=0 時，P 點所對應的點為A 點，
當 t=1 時，P 點所對應的點為B 點。
因此，線段 AB 的參數式為
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= −
= − +
z t
y t
x t
3 2
4
1 3
(0≤t≤1)。
在上例中，我們也可以取BA=(−3,1,−2)，點B(2,3,5)也落在直線AB 上，因此直線AB
的參數式也可以寫成x＝2−3t，y＝3+t，z＝5−2t，(t 為實數)，因此AB 直線的參數式
並不是只有一種。
(練習12)設平面E 的方程式為2x−3y+2z=6，過點A(1,2,4)對平面E 做一垂線L，請
寫出L 的參數式。Ans：
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= −
= +
z t
y t
x t
4
2 3
1 2
(t 為實數)
(練習13)設空間坐標中有兩點A(0,2,−4)、B(−2,6,8)，試問下列哪些參數式代表直線
AB：
(1)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= − +
= +
= −
z t
y t
x t
4 12
2 4
0 2
(t 為實數) (2)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= − +
= +
= −
z t
y t
x t
4 12
2 4
0 2
(0≤t≤2)
(3)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= − −
= −
= +
z t
y t
x t
4 6
2 2
0
(t 為實數) (4)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= +
= − −
z s
y s
x s
8 12
6 4
2 2
(s<0)
(5)
⎪⎩ ⎪⎨ ⎧
= −
= −
= − +
z s
y s
x s
8 6
6 2
2
(s≥3) Ans：(1)(3)
x
y
z
O
A
B
→■v
P
x
y
z
L
O
A
B
→■v
P

(練習14)直線L 有一方向向量→■v =(4,−5,−2)，且L 上有一點A(1,−3,0)，求L 的參數
式。Ans：
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= −
= − −
= +
z t
y t
x t
0 2
3 5
1 4
，t 為實數。
(練習15)設L：
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= −
= − +
z t
y t
x t
5 2
2 7
1 3
，t 為實數，求直線L 上t=0 的點坐標，並寫出此直線的
一個方向向量。 Ans：(−1,2,5)，(3,−7,2)
(練習16)設L：
x−1
2 =
y+4
−3 = z+5
7 ，試寫出直線L 上一點坐標，L 的一個方向向量，
L 的參數式。
(2)空間中直線的比例式與二面式：
(a)直線的比例式
在坐標平面上，一直線可以用參數式與點斜式來表示，而空間中的直線除了參數式之
外，還可以用比例式來表示。
例子：
設直線 L 的方向向量→■v =(2,3,5)，A(−2,4,3)在直線L 上，
設 P(x,y,z)為直線L 上的點，AP//t v ⇔ AP與v 分量成比例
(x+2,y−4,z−3)與(2,3,5 分量成比例，因此
x+2
2 =
y−4
3 =
z−3
5 ，另一方面，
令比值為 t，即t=
x+2
2 =
y−4
3 =
z−3
5 ，可得L 的參數式為
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= +
= − +
z t
y t
x t
3 5
4 3
2 2
，t 為實數
一般而言，我們稱
x+2
2 =
y−4
3 =
z−3
5 為直線L 的比例式。
直線的比例式：
設直線 L 過A(x0,y0,z0)且v =(a,b,c)為L 的方向向量，
設 P(x,y,z)為直線L 上的點
⇔AP// v

⇔(x−x0 , y−y0 , z−z0)//(a,b,c)……(*)
(1)若a , b , c 都不為0：
(*)式可以寫成
x−x0
a =
y−y0
b =
z−z0
c (AP與v 分量成比例)
因此直線L 上的點P(x,y,z)均滿足上式，反之，滿足上式的P(x,y,z)都會在直線L 上。
此表示形式
x−x0
a =
y−y0
b =
z−z0
c 稱為直線的比例式。
結論：
直線的比例式
設直線 L 通過A(x0,y0,z0)且方向向量為v =(a,b,c)，其中abc≠0，則直線L 的比例式為
x−x0
a =
y−y0
b =
z−z0
c ， (AP與v 分量成比例)
另一方面，當我們令比值
x−x0
a =
y−y0
b =
z−z0
c =t 時，可以得到直線L 的參數式
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= +
= +
z z ct
y y bt
x x at
0
0
0
(t 為實數)。
(2)若a,b,c 有一個為0：
設 a＝0，而b，c 都不為0(其它情形比照處理)
根據(x−x0 , y−y0 , z−z0)//(a,b,c)=(0,b,c)
則得 x＝x0 且
b
y y0 −
=
c
z z0 −
(AP與v 的y,z 分量成比例)
上式表示直線L 為「平面x＝x0」與「平面
b
y y0 −
＝
c
z z0 −
」的交線。
若令比值
b
y y0 −
=
c
z z0 −
=t，可以得到L 的參數式
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= +
=
z z ct
y y bt
x x
0
0
0
(t 為實數)。
(3)若a,b,c 有二個為0：
設 a＝0，b＝0 而c≠0(其它情形比照處理)
根據(x−x0 , y−y0 , z−z0)//(a,b,c)=(0,0,c)
可以得到x=x0，y=y0 而z 為任意實數，它表示「平面x＝x0」與「平面y＝y0」的交線，

因此直線L 可表為
⎩ ⎨ ⎧
=
=
0
0
y y
x x
。
另一方面，令比值
z−z0
c = t，可以得到L 的參數式
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
=
=
z z ct
y y
x x
0
0
0
(t 為實數)。
此外，我們知道x 軸是xy 平面、zx 平面的交線，因此x 軸可以表示成
⎩ ⎨ ⎧
=
=
0
0
y
z
的形式，
同理可得 y 軸與z 軸分別用
⎩ ⎨ ⎧
=
=
0
0
z
x
與
⎩ ⎨ ⎧
=
=
0
0
y
x
來表示。
[例題4] 設空間中有兩點 A(−2,4,7)、B(1,−3,5)，試求
(1)直線AB 的比例式、參數式。
(2)試判別C(4,−10,3)、D(1,−3,0)兩點是否在直線AB 上？
[解法]：(1)設P(x,y,z)為直線AB 上的點
⇔AP//AB
⇔ (x+2 , y−4 , z−7)//(3,−7,−2)
⇔ x+2
3 =
y−4
−7 =
z−7
−2 。(AP與AB的分量成比例)
故直線的比例式為
x+2
3 =
y−4
−7 =
z−7
−2 。
(注意：當我們考慮直線AB 通過B 點時，上述的比例式亦可以寫成：
x−1
3 =
y+3
−7 =
z−5
−2 )
令比值
x+2
3 =
y−4
−7 =
z−7
−2 = t 可得參數式
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= −
= −
= − +
z t
y t
x t
7 2
4 7
2 3
(t 為實數)。
(2)將C(4,−10,3)代入比例式
x+2
3 =
y−4
−7 =
z−7
−2 ⇒4+2
3 =
−10−4
−7 =
3−7
−2 =2(三
式比值相等)故C 點在直線L 上。
將 D(1,−3,0)代入比例式
x+2
3 =
y−4
−7 =
z−7
−2 ⇒1+2
3 =
−3−4
−7 =1，但是
−7
−2 =
72
(比值不相等)故D 點不在直線L 上。
[例題5] 設空間坐標中，二平面 E1：x+3y−z+4=0，E2：2x+5y+z+1=0
(1)試判別平面E1 與E2 的關係。
(2)試求平面E1 與E2 交線的參數式與比例式。
[解法]：
(1)設n1 =(1,3,−1)、n2 =(2,5,1)分別為E1、E2 的法向量，因為n1 與n2 不平行，
林信安老師編寫
~31−12~
故平面 E1 與E2 交於一直線。
(2)
[分析]：
要求交線的參數式，只要求交線的方向向量與線上的一點即可。
(1)找方向向量：
設 u 為交線的方向向量，因為平面E1 與E2 的交線分別落在兩個平面上，而
交線的方向向量會分別與平面E1、E2 的法向量n1 =(1,3,−1)、n2 =(2,5,1)都垂
直。
所以 u 為n1 與n2 的公垂向量，故u // n1 × n2
而 n1 × n2 =(
5 1
3 −1
,
1 2
−1 1
,
2 5
1 3
)=(8 , −3 , −1)，
因此可以取方向向量 u =(8,−3,−1)
(2)找直線上的點：
令 z=0 代入兩平面的方程式，得
⎩ ⎨ ⎧
+ = −
+ = −
2 5 1
3 4
x y
x y
，解得x=17，y=−7
因此點(17,−7,0)落在兩平面的交線上。
根據參數式的意義，可知交線的
參數式為
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= −
= − −
= +
z t
y t
x t
7 3
17 8
(t 為實數)。
比例式為
x−17
8 =
y+7
−3 =
z
−1。
另外，可令z=t，代入聯立方程式
⎩ ⎨ ⎧
+ + + =
+ − + =
2 5 1 0
3 4 0
x y z
x y z
，解得x=17−8t，y=−7+3t，
這樣也可以求得交線的參數式。
(b)直線的兩面式：
一般而言，若E1：a1x+b1y+c1z+d1=0，E2：a2x+b2y+c2z+d2=0 是兩個不平行的平面，相
交於直線L，則聯立方程式
⎩ ⎨ ⎧
+ + + =
+ + + =
0
0
2 2 2 2
1 1 1 1
a x b y c z d
a x b y c z d
的圖形即為交線L，此聯立方程式
稱為直線L 的二面式。
結論：
掌握方向向量與直線上的一點，如果牽扯到直線的計算，通常參數式會派上用場，而
如果只是表示直線的型式，則三種表示皆可。
(練習17) 設直線 L 有一方向向量→■v =(4,3,−1)，且過點A(−2,5,3)，則求直線L 的
比例式與參數式。 Ans：
x+2
4 =
y−5
3 =
z−3
−1 ，
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= −
= +
= − +
z t
y t
x t
3
5 3
2 4
,t∈R

(練習18) 二平面 E1：x+3y−z+4=0，E2：2x+5y+z+1=0 的交線之對稱比例式為何？
Ans：
x−1
8 =
y+1
−3 =
z−2
−1
(練習19) 求兩平面
⎩ ⎨ ⎧
+ − + =
− + − =
4 2 7 0
2 3 4 0
x y z
x y z
的交線L 的比例式。 Ans：
x−1
−10 =
y+2
7 =
z9
(練習20) 化直線 L 的比例式
x−1
5 =
y+2
−1 =
z−7
7 為二面式。Ans：
⎩ ⎨ ⎧
+ + =
+ + =
7 7 0
5 9 0
y z
x y
(丙)空間中平面與直線的關係
(1)求直線與平面的交點：
例如：
設直線 L：
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= − −
= +
z t
y t
x t
1
3 2
5 2
，t∈R，平面E：3x−2y−4z−2=0，請問直線L 與平面E 是否相
交？若相交，則交點坐標為何？
[解法]：
設交點 P(5+2t,−3−2t,1+t)，代入E 的方程式，
如果 t 有一解，則直線L 與平面E 有一個交點
如果 t 無解，則直線與平面E 平行。
如果 t 有無限多解，則直線與平面E 重合。
⇒3(5+2t)−2(−3−2t)−4(1+t)−2=0
⇒t=−3 ⇒L 與E 有一個交點P(−1,3,−2)
[代數觀點]：
根據上一題的解法，參數t 有唯一解，則直線L 與平面E 只有一個交點，若是t 無解，
則可知L 與E 無交點；要是t 有無限多個解，則L 在平面E 上。
[幾何觀點]：
判別平面 E 與直線L 的相交情形，亦可用法向量n 與方向向量l 來判別。
(a) n ⊥ l ⇒直線L 與平面E 平行或重合。
(b) n 與l 不垂直⇒ 直線 L 與平面E 交於一點。
林信安老師編寫
~31−14~
[例題6] 設空間中有一個平面 E：ax+by+cz+d=0，試證明：
(1)點A(x0,y0,z0)到平面E 的距離為d(A,E)=
|ax0+by0+cz0|
a2+b2+c2 。
(2)試求A 點對平面E 的對稱點。
[例題7] 已知 A(1,1,1)、B(2,1,−1)，平面E：x−2y+z+3=0，P 為平面E 上的動點，
(1)求P 點使得
⎯
AP+
⎯
BP最小 (2)並求此最小值。
Ans：(1)P(
65
,
95
,
−3
5 ) (2)3
(練習21) 設直線 L 的方程式為
x−2
3 =
y+1
−1 =
z−1
2 ，則下列那一個平面與L 平行？
(A)2x−y+z−1=0 (B)x+y−z−2=0 (C)3x−y+2z−1=0 (D)3x+2y+z−2=0
(E)x−3y+z−1=0 Ans：(B)
E
L
L 與E 平行
→■
n
→■v
L
L落在E上E
→■
n
→■v
L 與E 交於一點
L
E
→■
n
→■v
A
H
A/
E
林信安老師編寫
~31−15~
E1
E2
→■n
1
→■n
2
(練習22) 求直線
x−1
2 =
y−2
−1 =
z3
與平面2x+4y−z+2=0 交點P 之坐標。
Ans：P(9,−2,12)
(練習23) 設 A(3,2,1)在平面E：3x+2y+z−28=0 上的投影點坐標，並求A 點對此平
面的對稱點。 Ans：(6,4,2)、(9,6,3)
(練習24) 設 P(x,y,z)為平面E：x−2y−2z+3=0 的點，則(x−6)2+y2+z2 的最小值為？
Ans：9
(練習25) 空間中，設A(−1,3,3)、B(1,3,4)、C(3,−5,−5)、D(2,2,7)，則四面體ABCD
中，以ABC 為底面時，高為何？ Ans： 5
(丁)空間中兩平面的關係
(1)空間中兩平面的夾角：
設兩平面 E1：a1x+b1y+c1z+d1=0，E2：a2x+b2y+c2z+d2=0，
若設兩平面的法向量→■n1、→■n2的夾角為α，
則平面 E1 與E2 的交角為α，π−α。
[證明]：
設平面 E1、E2 交於一直線L，另作一平面E 垂直L 且分別與E1、E2 交線L1、L2，法
向量→■n1、→■n2的夾角α必等於直線L1、L2 的一個夾角也就是平面E1、E2 所夾的一個二面
角。
(2)求兩平行平面的距離：
兩平行平面 E1：ax+by+cz+d1=0，E2：ax+by+cz+d2=0，
兩平面 E1、E2 的距離d(E1,E2)=
|d1−d2|
a2+b2+c2。
[例題8] 設α為平面2x+y−z=4 與xy 平面之夾角，則sinα=？ Ans：
30
6

[例題9] 求過點 A(1,0,0)、B(0,0,
13
)二點，且與平面x+z=3 之交角為45°的平面方程式。
Ans：x± 6 y+3z−1=0
[例題10] 平面 E1：7x−y+2z+10=0，E2：4x+4y−8z+3=0，求E1 及E2 所夾二面角之平分
面方程式。Ans：16x−16y+32z+31=0 或40x+8y−16z+49=0
(練習26) 求 E1：x−2y+2z=5 與E2：3x+4y−5z=−3 二平面的交角。Ans：
π4
或
3π
4
(練習27) 平面 E 過點A(1,−1,1)、B(−1,3,1)且與平面x+y+1=0 之一交角為
π4
，求E
的方程式。 Ans：2x+y+2z−3=0，2x+y−2z+1=0
(練習28) 求與平面 2x−y−2z+3=0 平行且與其距離為1 的平面方程式。
Ans：2x−y−2z=0 或2x−y−2z+6=0
(戊)空間中兩直線的關係與距離問題
(1)兩直線的關係：
空間中兩直線的關係⎯平行、重合、相交、歪斜，當我們建立空間坐標系後，可以依
據直線的參數式或比例式來判別空間中兩相異直線的關係。

因為兩直線平行或重合時，它們的方向都會一致，而當兩直線相交或歪斜時，它們的
方向不會一致。因此若空間中兩直線L1 與L2 的方向向量分別為→■v1 ,→■v2，則
當→■v1與→■v2平行時，兩直線L1 與L2 可能平行或重合；
當→■v1與→■v2不平行時，兩直線L1 與L2 可能相交或為歪斜線。
結論：兩直線的關係：
􀁣方向向量平行：重合、平行
􀁤方向向量不平行：相交於一點、歪斜。
[例題11] 試判別直線
1
1
3
14
2
, : 2
2
3
1
1
4
: 2 1 2
−
=
+
=
− +
=
−
+
=
L x − y z L x y z 的相交情形，若相
交求交點。 Ans：相交，(6,−2,5)
(練習29) 請判別兩直線 L1：
x+2
1 ＝
y−3
2 ＝
z+3
−2 與L2：
x−2
−3 ＝
y+2
4 ＝
z1
的關係。
Ans：歪斜
前面我們已經討論了點線面這些幾何基本元素之間的關係，當它們有交點，我們可以
利用方程式或參數式求出交點或是夾角，例如求直線與平面或兩直線的交點，當然交
點也可能不只一個，像是求兩平面的交線；當它們沒有交點，通常問題就會是求距離
的問題，例如求點到平面、點到直線、兩平行平面、兩平行線、兩歪斜線的距離。接
下來要討論點到直線、兩平行線、兩歪斜線的距離：
林信安老師編寫
~31−18~
P(−5,0,−8)
H(3+t,2−2t,−1+2t)
L
→■v
(2)距離問題：
(a)點到直線的距離：
在空間中，恰有一個平面通過直線 L，與L 外一點P。因此在空間中討論P 點到直線
L 的距離，就如同在平面上討論P 點到直線L 的距離一樣。
設 H 點為P 點對直線L 的投影點，則P 點到L 的距離是
⎯
PH的長度，而
⎯
PH的長度亦是
「P 點到L 上各點連線段長度之最小值」。
因此根據這樣的想法，給定P 點的坐標與直線L 的參數式或比例式，就可以求出點P
到L 的距離，我們用下面的實例來說明。
取 L的參數式，利用AP ⊥ L的方向向量，求P，而AP即為點P到L的距離。
[例題12] 設點 P(−5,0,−8)，直線L：
x−3
1 =
y−2
−2 =
z+1
2 ，
(1)自P 點作直線L 的垂線與直線L 交於H，求H 點坐標。
(2)求點P 到直線L 的距離。
解法：
法一：
(1)因為H 點在L 上，故令H 點的坐標為H(3+t,2−2t,−1+2t)，
由於直線 PH 垂直直線L，所以PH=(8+t,2−2t,7+2t)與L 的方向向量→■v =(1,−2,2)
垂直所以(8+t,2−2t,7+2t)．(1,−2,2)=0，
故可得 9t+18=0，解得t=−2，故H 點的坐標為(1,6,−5)。
(2) 點P 到直線L 的距離
⎯
PH= (−5−1)2+(0−6)2+(−8+5)2 = 81=9。
P
H
L

P(−5,0,−8)
Q(3+t,2−2t,−1+2t)
L
A
B
L1
L2
法二：
根據最小距離的原理，可設 Q(3+t,2−2t,−1+2t)為L 上的任一點
⎯
PQ= (−5−3−t)2+(0−2+2t)2+(−8+1−2t)2 = 9t2+36t+117
= 9(t2+4t+4)+81 = 9(t+2)2+81
故當t=−2 時，
⎯
PQ= 81 =9 最小，
此時 Q(1,6,−5)即為H 點。
而且點 P 到直線L 的距離= 81 =9。
(b)兩平行線的距離：
空間中，設直線L1 平行直線L2，因為L1 與L2 在同一平面上，因此討論空間中兩平行
線的距離就相當於在平面上的情形一樣。即平行線的距離為L1 與L2 的公垂線段的長
度(
⎯
AB)。換句話說，平行線L1、L2 間的距離會等於L1 上任一點到L2 的距離。
空間坐標中，給定兩平行直線的參數式或比例式，利用前面點到直線距離的求法，就
可以求出它們的距離，接下來用實例來說明。
[例題13] 二平行線 L1：
x+1
2 =
y−1
2 =
z1
與L2：
x−1
2 =
y2
=
z+2
1 ，求 L1 與L2 間的距離。
解法：
取 L1 上的點P(−1,1,0)，平行線L1 與L2 間的距離等於點P 到直線L2 的距離。
設 P 點對L2 的投影點Q，因為Q 在L2 上，可令Q(1+2t,2t,−2+t)
由此可得PQ=(2+2t,2t−1,−2+t)，
因為PQ⊥L2 且(2,2,1)為L2 的一個方向向量
所以PQ．(2,2,1)=0，
得 2(2+2t)+2(2t−1)+1(−2+t)=0
解得t=0，故Q(1,0,−2)
所以L1 與L2 間的距離=
⎯
PQ= (−1−1)2+(1−0)2+(0+2)2 =3。
P
Q
L1
L2

E1
E2
L1
L2
C
P
Q
A
B
L1
/
E1
E2
L1
L2
P
Q
L1
/
(c)二歪斜線的距離：
設 L1、L2 為空間中兩歪斜線，根據最短路徑的原理，在L1、L2 上任取一點，兩點距
離的最小值即為歪斜線L1、L2 間的距離。
(1°)找L1、L2 的公垂線：
因為 L1、L2 為歪斜線，所以可找到平行平面E1、E2，使得L1、L2 分別落在E1、E2 上。
設L1 在E2 上的投影直線為L1
/，所以L1
/與L2 不平行，設L1
/與L2 的交點為Q，因為
L1
/為L1 在E2 上的投影直線，所以Q 點對E1 的投影點P 會落在L1 上，因此直線PQ
是平面E1、E2 的垂線，故直線PQ 分別垂直歪斜線L1、L2，我們稱直線PQ 為歪斜線
L1、L2 的公垂線，其中P、Q 分別是公垂線在L1、L2 上的垂足點。
(2°)求歪斜線L1、L2 的距離：
如下圖，在 L1、L2 上分別取異於P、Q 的A、B 兩點，
設 A 點對平面E2 的投影點為C，因為直線AC 為E2 的垂線，所以直線BC 垂直直線
AC，因此ΔABC 為直角三角形，故
⎯
AB>
⎯
AC。又因為
⎯
AC=
⎯
PQ=兩平行平面E1、E2 的距
離，所以若在歪斜線L1、L2 上各任取一點，則此兩點間的最短距離
=
⎯
PQ(兩平行面E1、E2 的距離)。
我們將前面的結果整理如下：
歪斜線 L1、L2 的距離
=公垂線與兩線交點間的距離
=過L1 與L2 的兩平行面E1 與E2 間的距離。
林信安老師編寫
~31−21~
根據前面的討論，可以歸結出求兩歪斜線距離的方法：
(法一)：
求歪斜線 L1，L1 之公垂線與L1,L2 的交點P,Q 則L1,L2 的距離為
⎯
PQ。
(法二)：
先求一平面 E1 包含直線L1，且平行L，在取L2 上一點A，求A 點到E1 的距離，即為
L1,L2 的距離。
[例題14] 空間坐標中，兩歪斜線 L1：
x+2
1 ＝
y−3
2 ＝
z+3
−2 與L2：
x−2
−3 ＝
y+2
4 ＝
z
1 ，直線L 為
直線L1 與L2 的公垂線。
試求：(1)直線L 與L1、L2 的交點坐標。 (2)直線L1 與L2 的距離。
解法：
(1)設公垂線L 與L1、L2 的交點為P、Q，
因為 P、Q 分別在直線L1、L2 上，
所以可設 P(－2＋t，3＋2t，－3－2t)，Q(2－3s，－2＋4s，s)，
(請注意：因為兩相異直線上點的變化各自獨立，所以P、Q 要用不同的參數)
則PQ＝(－3s－t＋4，4s－2t－5，s＋2t＋3)。
因為
⎯
PQ為公垂線段，所以
⎯
PQ⊥L1 且
⎯
PQ⊥L2
故PQ為L1 與L2 方向向量→■v1 =(1,2,−2)與→■v2 =(−3,4,1)的公垂向量
⇒PQ// →■v1 ×→■v2 =(
4 1
2 − 2
,
1 3
2 1
−
−
,
3 4
1 2
−
)=(10 , 5 , 10)
⇒
−3s−t+4
10 =
4s−2t−5
5 =
s+2t+3
10 則
⎩ ⎨ ⎧
− − = ⋅ + +
− − + = − −
10(4 2 5) 5 ( 2 3)
5( 3 4) 10(4 2 5)
s t s t
s t s t
，
化簡得
⎩ ⎨ ⎧
− − =
− − =
7 6 13 0
11 3 14 0
s t
s t
，
解此聯立方程式得 s＝1，t＝－1。
故公垂線段兩端點 P(－3，1，－1)，Q(－1，2，1)。
(2) 公垂線段
⎯
PQ長等於L1 與L2 的距離。
因此 L1 與L2 之距離為
⎯
PQ= (−1+3)2+(2−1)2+(1+1)2 =3。
林信安老師編寫
~31−22~
[例題15] 設 L：
x−3
1 =
y+4
−2 =
z+2
1 ，M：
x+9
4 =
y−2
−1 =
z2
，
(1)試判別L、M 的相關位置。(2)求L、M 的公垂線方程式。
(3)求d(L,M)=？Ans：(1)歪斜 (2)
7
3
2
2
3
2 +
=
+
=
−
x − y z (3) 62
(練習30) 試求點 P(−1,3,6)到直線L：
x+2
−2 =
y−8
3 =
z−6
2 的距離。 Ans：3
(練習31) 試求兩平行線 L1：
x-6
1 =
y+4
−2 =
z-4
2 ,L2：
x-2
1 =
y-1
−2=
z-2
2 的距離。Ans：3
(練習32) L1：
x−11
4 =
y+5
−3 =
z+7
−1 ，L2：
x+5
3 =
y−4
−4 =
z−6
−2 ，若 L1、L2 的公垂
線為L，請求出L 與L1、L2 的交點P、Q 坐標。
Ans：P(3,1,−5)、Q(1,−4,2)
(練習33) 設二直線 L:
x−1
1 =
y2
=
z−2
−1 ，M:
x−3
1 =
y−1
3 =
z+1
1 為空間中二直線
(1)求包含L 且與M 平行的平面。(2)求d(L,M)
Ans：(1)5x−2y+z−7=0 (2)
30
6
由點、線決定平面：
決定平面有決定平面的四個條件：
(a)不共線的相異三點(b)一線與其線外一點。(c)二相交直線(d)二平行線
接下來舉例來說明這些條件如何透過平面的方程式與直線的方程式來詮釋：
L
M Q
P

B
A
→■n
[例題16] 求過點 A(4,3,1)且包含直線L：
2
1
1
2
2
1 −
=
−
=
x − y z
之平面方程式。
Ans：2x−6y+z+9=0
[例題17] 試求包含二相交直線
2
1
1
2
2
, : 1
1
1
2
2
1
: 1 1 2
−
=
+
=
−
−
−
=
+
=
L x − y z L x y z 的平面
方程式。Ans：5x−4y−3z−10=0
[例題18] 試求過二平行線
2
4
2
1
1
, : 3
2
3
2
1
1
: 1 1 2
+
=
+
=
+ +
=
−
=
+ x y z L x y z L 之平面方程
式。Ans：2x−3y+2z+11=0
(練習34) 已知直線 L：
x−1
2 =
y+2
3 =
z−2
−1 與點 P(−2,1,3)試求
(1)直線L 與點P 所決定的平面方程式。
(2)包含直線L 且垂直平面x−y+z=3 的平面方程式。
A
L
B
→■
n
→■l

Ans：(1)6x+y+15z−34=0 (2)2x−3y−5z+2=0
(練習35) 求包含二平行線
x+1
2 =
y−1
1 =
z+2
−1 與
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= −
= − +
=
z t
y t
x t
1
1
2
，(t 為實數)的平面方程
式。Ans：x−7z−5z−2=0
(練習36) 空間中兩相交直線 L1：
⎩ ⎨ ⎧
− + + =
+ − + =
2 2 2 0
1 0
x y z
x y z
，L：
⎩ ⎨ ⎧
+ + − =
+ + − =
3 2 4 0
2 3 0
x y z
x y z
則求通過 L1、L2 的平面。Ans：x−2y+3z+1=0
(己)平面族的意義
例子：
(1)對於任意的實數a，二平面E1：x+3y−z+4=0，E2：2x+5y+z+1=0 之交線
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
= − +
= −
z t
y t
x t
7 3
17 8
(t 為實數)是否在平面a(x+3y−z+4)+(2x+5y+z+1)=0 上？
(2)
⎩ ⎨ ⎧
+ + + =
+ − + =
2 5 1 0
3 4 0
x y z
x y z
的交線與
⎩ ⎨ ⎧
+ − + + + + + =
+ − + =
( 3 4) (2 5 1) 0
3 4 0
a x y z x y z
x y z
的交線
是否代表相同的直線？
[解法]：
(1)將
⎩ ⎨ ⎧
+ + + =
+ − + =
2 5 1 0
3 4 0
x y z
x y z
交線的參數式
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
= − +
= −
z t
y t
x t
7 3
17 8
代入
平面 a(x+3y−z+4)+(2x+5y+z+1)=0，可知交線落在該平面上。
(2)
⎩ ⎨ ⎧
+ − + + + + + =
+ − + =
( 3 4) (2 5 1) 0
3 4 0
a x y z x y z
x y z
與
⎩ ⎨ ⎧
+ + + =
+ − + =
2 5 1 0
3 4 0
x y z
x y z
的交線代表同一條直線。
從方程組的觀點來看，這兩個方程組的解相同。
從(1)可以得知平面a(x+3y−z+4)+(2x+5y+z+1)=0 會包含二平面E1：x+3y−z+4=0，E2：
2x+5y+z+1=0 之交線，反過來說，所有通過E1、E2 交線的平面是否都能表成平面
a(x+3y−z+4)+(2x+5y+z+1)=0 的形式呢？
(1)通過兩平面E1、E2 交線的平面：
設 E1：a1x+b1y+c1z+d1=0，E2：a2x+b2y+c2z+d2=0，二平面交於一直線L，
則通過此直線的平面可設為：k1(a1x+b1y+c1z+d1)+k2(a2x+b2y+c2z+d2)=0。(k1
2+k2
2≠0)

[證明]：設f1(x,y)= a1x+b1y+c1z+d1，f2(x,y)= a2x+b2y+c2z+d2
很容易可以證明交線 L 上的點都會在平面k1f2(x,y)+k2f2(x,y)=0，其中k1
2+k2
2≠0
設平面E 通過交線L，再E 上取一點A(x0,y0,z0)，且A 不在L 上，
取 k1=f2(x0,y0)，k2= −f1(x0,y0)
考慮平面f2(x0,y0)．(a1x+b1y+c1z+d1)− f1(x0,y0)．(a2x+b2y+c2z+d2)=0……(*)
(*)很明顯會通過L 上的兩點B、C，故(*)所代表的平面會通過A、B、C 三點，因為
通過不共線三點A、B、C 的平面只有一個，即為平面E。
因此平面 E 的方程式為f2(x0,y0)．(a1x+b1y+c1z+d1)− f1(x0,y0)．(a2x+b2y+c2z+d2)=0。
k1(a1x+b1y+c1z+d1)+k2(a2x+b2y+c2z+d2)=0 代表兩平面E1：a1x+b1y+c1z+d1=0，
E2：a2x+b2y+c2z+d2=0 交線L 的平面，當k1=0，代表平面E2，當k2=0，代表平面E1。
當 k1≠0 時，可以將k1(a1x+b1y+c1z+d1)+k2(a2x+b2y+c2z+d2)=0 化成
a1x+b1y+c1z+d1+k(a2x+b2y+c2z+d2)=0 的型式，其中k=
k2
k1
。
我們可以得到以下的結論：
通過直線 L：
⎩ ⎨ ⎧
+ + + =
+ + + =
0
0
2 2 2 2
1 1 1 1
a x b y c z d
a x b y c z d
的平面(除了平面a2x+b2y+c2z+d2=0 之外)可以表
成a1x+b1y+c1z+d1+k(a2x+b2y+c2z+d2)=0 的型式。
[例題19] 過直線
⎩ ⎨ ⎧
+ + − =
+ − − =
3 2 4 6 0
7 2 4 0
x y z
x y z
，且與直線
x−1
1 =
y−2
1 =
z−3
1 平行的平面方程式。
Ans：15x−y−14z=0
(練習37) (1)求包含二平面2x+y−4=0， y+2z=0 之交線且垂直平面
3x+2y+3z−6=0 之平面方程式。

(2)求過直線
⎩ ⎨ ⎧
+ − =
+ − + =
2 3 0
1 0
x y
x y z
，且與x 軸平行的平面方程式。
Ans：(1)x−z−2=0 (2)y+z−4=0
(練習38) 求包含平面 3x+2y−2z+1=0、x+y−5z−6=0 交線的平面，且與4x+2y+3z+1=0
的平面方程式。Ans：37x+28y−68z−51=0
[例題20] A(−5,4,3)、B(13,12,5)為空間中二點，P 為x 軸上的一個動點，當
⎯
AP+
⎯
BP小
時，P 之坐標為何？ Ans：P(0,0,0)
[例題21] L1：
x−4
1 =
y+5
2 =
z
−3 ，L2：
x−4
3 =
y+5
−1 =
z2
(1)L1 與L2 的交點坐標。 (2)L1、L2 二線交角平分線之方程式。
Ans：(1)(4,−5,0) (2)
x−4
4 =
y+5
1 =
z
−1 或
x−4
2 =
y+5
−3 =
z5

(練習39) 求 x 軸與平面6x−3y+2z=12 交角為θ，求sinθ =？ Ans：
67
(練習40) A(12,10,5)、B(4,−8,3)為空間中二點，P 是y 軸上一個動點，當
⎯
AP+
⎯
BP 小
時，P 之坐標為何？ Ans：(0,−3,0)
(練習41) 過點(3,2,−1)與(0,4,1)二點的直線與平面2x−y−z+7=0 之交角為θ，求
sinθ=？ Ans：
10
102

綜合練習
(1) 試求下列諸平面的方程式：
(a)過點(−1,3,2)，法線方向為(−4,1,3)。
(b)過三點(2,7,3)、(4,6,2)、(5,6,1)。
(c)在x,y,z 軸截距為3,−2,4。
(d)設P(2,1,−1)、Q(3,−2,1)、R(1,1,2)，其中直線PQ 垂直此平面且R 點到平面
的距離為2 14 。
(e)與4x−2y−z−5=0、3x+y−z+1=0 二平面均垂直且通過點P(1,1,1)。
(f)點(1,2,3)在此平面上的投影點為(2,3,4)。
(g)過x+y−z+2=0、x+z−3=0 二平面的交線且過點(0,0,2)。
(2) 試求符合下列條件之直線方程式：
(a)過點(3,3,−1)且平行y 軸
(b)過點(9,8,7)且平行直線
⎩ ⎨ ⎧
− + + =
+ + =
5 2 2 0
2 3 0
x y z
x y z
(c)過點(11,4,−6)且垂直於直線
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= − +
= +
= −
z t
y t
x t
1
7 2
4
，t 為實數。
(3) 空間中，下列何者代表直線：
(A)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
− − =
− + =
+ − =
2 1
2 1
2 0
x y z
x y z
x y z
(B)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
= −
= +
4
3 4
1 2
z
y t
x t
t 為任意實數。(C)
⎩ ⎨ ⎧
− + =
− + =
2 2 2 3
5
x y z
x y z
(D)
5
1
1
4
2
2
−
+
=
+
=
−
x − y x (E)3x+2y=1。
(4) 空間中有一直線 L：
3 6
2
2
x 1 y = z
−
=
−
，請回答下列兩個小題：
(a)那一條直線與L 歪斜？
(A)
6 12
4
4
x y = z
−
= (B)
6
6
3
5
2
3 −
=
−
=
x − y z (C)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= − +
= − +
= − +
z t
y t
x t
6 3
1 2
1 2
(D)
5
1
2
4
1
+
=
−
=
−
x y z (E)
⎩ ⎨ ⎧
− − =
− + =
2 3 0
3 2 8 0
y z
x y
(b)那一個平面與L 平行？
(A)2x+3y+6z=0(B)3x−4y+z+5=0(C)3x−2y+7=0(D)xy 平面(E) x+y+z=4
林信安老師編寫
~31−29~
A
Q
R
P
(5) 空間中一直線 L：
⎩ ⎨ ⎧
+ − =
+ − =
2 1
2 0
x y z
x y z
，則下列何者為真？
(A)L 的方向向量為(1,−1,3) (B)點(0,1,1)在直線L 上 (C)L 與
x−2
1 =
y−3
−1 =
z−7
3
重合。(D)L 與
x
−1 =
y−1
−2 =
z−1
1 垂直 (E)L 在平面上x−y+1=0 上。
(6) 空間坐標中，平面 E：2x−y=2 上有A(2,2,2)與B(1,0,0)兩點
已知原點 O 在直線AB 與E 上的投影點分別為H、K，試問
下列哪些選項是正確的？
(1)AB·(2,−1,0)=0 (2)OH·(2,−1,0)=0
(3) OH·AB=0 (4)OK·(2,−1,0)=0 (5) OK·KH=0。
(7) 有一個邊長為 5 公尺的正立方體木塊，一位雕塑家想要
作一件藝術品，他拿鋸子沿 P、Q、R 三點鋸下四面體
APQR，剩下的木塊以截面PQR 為底放在地上，
已知
⎯
AP=4 公尺，
⎯
AQ=
⎯
AR=2 公尺，請問這一件
藝術品的高度為多少公尺？
(8) 若 A(1,2,1)、B(0,−1,1)、C(−1,0,0)、D(4,3,k)，試求
(a)ΔABC 的面積 (b)A、B、C 三點所決定之平面方程式 (c)若A、B、C、D
四點共平面，求k=？
(9) 坐標空間中，直線 L 上距離點Q 最近的點稱為Q 在L 上的投影點。已知L 為
平面2x−y=2 上通過點(2,2,2)的一直線。請問下列哪些選項中的點可能是原點O
在L 上的投影點？
(1)(2,2,2) (2) (2,0,2) (3) (
4
5 ,− 2
5 ,0) (4) (
4
5 ,− 2
5 ,−2) (5) (
8
9 ,− 2
9 ,− 2
9 )
(2010 年學科能力測驗)
(10) H：x−y+z=2 為坐標空間中一平面，L 為平面H 上一直線。已知點P(2,1,1)為L
上距離原點O 最近的點，已知(2,m,n)為L 的方向向量，試求(m,n)=？
(2011 學科能力測驗)
(11) 設ΔABC 的三頂點分別為A(−2,7,15)、B(1,16,3)、C(10,7,3)。
(a)試求通過A、B、C 三點的平面方程式。(b)試求ΔABC 的外心坐標。
(2006 指定甲)
(12) 設 A(0，1，2)，B(－1，0，3)，C(1，2，3)，
(a)求通過A，B，C 三點的平面方程式。(b)求ΔABC 的垂心坐標。

(13) 如圖，有一邊長 30 公分的正立方體，
在其中置入一面鏡子 ABCD，其中B、D 分別為
稜的中點，
⎯
EA：
⎯
AF=1：2，若由F 立一個垂直
鏡面支柱
⎯
FH撐注鏡子，求
⎯
FH長度。
(14) 平面 E1：x−2y+2z−5=0，E2：2x+y−2z+3=0，求E1、E2 所夾二面角之平分面方
程式。
(15) 設 A(3,1,0)、B(1,2,3)對稱於平面ax+by+cz−2=0，求
(a) (a,b,c)=？ (b)
⎯
AB與此平面的交點。
(16) 給予一平面 E：x−3y−z−12=0 及一點P(2,5,−3)，求P 在E 上的正射影，P 對於
E 的對稱點。
(17) 設 A(1,−1,2)、B(1,5,−4)及平面E：x+y+z−5=0，求E 上的一點P 使得
⎯
AP+
⎯
BP最
小。
(18) 一平面過點(1,2,1)並通過二平面x+2y−3z=0 與x−y+z=1 的交線，求此平面的方
程式。
(19) (正射影與點到直線的距離)
設空間中有一點A(–1, –2, –1)，直線L：
2
3
2
3
1 −
−
=
+
x = y z
，在L 上取一點P(0,−3,3)
(a)試求PA在方向向量v =(1,2,−2)的正射影。
(b)試求A 點對直線L 的投影點坐標。
(c)試求A 點到直線L 的距離。
(20) 設空間坐標中有一個金字塔形狀的立體圖
形，其中每個稜長都相等，
底面 ABCD 落在xy 平面上，其中A(2,0,0)、
C(0,2,0)、D(0,0,0)
且E 點在xy 平面上方，試求下列各小題：
(a)試求A 點到平面BCE 的距離。
(b)試求D 點到直線BE 的距離。
(21) 空間中有二直線
1
1
1
2
2
, : 1
2 2 1 0
1 0
: 1 2
−
=
−
=
+
⎩ ⎨ ⎧
+ − + =
− + − = x y z L
x y z
x y z
L

(a)求包含L1 且與L2 平行的平面E 的方程式。
(b)L1 與L2 的距離。
(22) 某次航空展有兩架飛機在空中進行分列式表演，在某個小範圍的空域中，兩架
飛機直線飛行。根據塔台的觀測資料：
甲飛機一開始在 A(1,2,−1)，2 秒之後飛到B(5,8,−3)；
乙飛機一開始在 C(0,8,4)，1 秒之後飛到D(2,10,3)，
根據這些資料，請預測這兩架飛機在這個空域內會發生碰撞嗎？
(23) 設空間中兩直線 L1：
x−2
4 =
y+1
−1 =
z−3
2 ，L2：
x+2
2 =
y+14
3 =
z−1
1 相交於一點，
試求：(a)L1 與L2 的交點坐標。 (b)兩線交角θ ，cosθ=？ (c)包含L1 與L2 的
平面。
(24) L1：
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+ =
3 2
3 1
y z
x y
、L2：
⎩ ⎨ ⎧
− =
− + =
3 0
2 1 0
y
x z
，求過點(3,6,−12)且與L1、L2 均平行的平
面方程式。
(25) 設 L1：
⎩ ⎨ ⎧
=
+ =
0
3 2 6
z
x y
，L2：z 軸，若L1 上一點P、L2 上一點Q，使得
⎯PQ分別與
L1、L2 垂直，求Q 點坐標及
⎯
PQ之長。
(26) 設二直線 L1:
x+1
−1 =
y−1
2 =
z−1
−2 ，L2:
x+2
2 =
y+1
2 =
z−1
1 為空間中二直線
(a)求L1 與L2 的交點。(b)求交角平分線。(c)求包含L1 與L2 的平面方程式。
(27) (a)若a =(1,−2,2), b =(8,4,−1)， c =t⋅ a + b ，若c 與a 的夾角等於c 與b
的夾角，求 c 。
(b)已知直線L1：
x−1
1 =
y−1
−2 =
z−1
2 ，直線 L2：
x−1
8 =
y−1
4 =
z−1
−1 ，求L1 與L2
的交角平分線的參數式。
進階問題
(28) 空間坐標系中，設Γ為空間中之稜長為1 的一正立方體(如下圖所示)，
設平面α的方程式為5x+2y−z=k，試求下列各小題：
(a)當k=0 時，正立方體Γ被平面α截出一個四面體，且此四面體包含E 點，
試求此四面體的體積。
(b)當k 變動，而且使得正立方體Γ被平面
α截出一個包含E 點的四面體，試求k 之
範圍。

(29) ΔABC 的三頂點坐標為A(2,−3,5)，B(3,0,10)，C(x,y,0)，則使ΔABC 的周長最小
的點C 的坐標為？
(30) 平面 E 過點P(2,3,4)，且分別交x,y,z 三軸正向於A、B、C 三點，O 為原點，
(a)求四面體OABC 的最小體積。(b)此時平面ABC 之方程式為何？
(31) 如圖所示，OABC−DEFG 是一長方體，其中一些頂點坐標A(3,0,0)、C(0,5,0)、
D(0,0,4)，試求
(a)B、E、G 三點所決定的平面方程式。
(b)設P 是線段FG 上一點，欲使ΔCEP 的周長最小，求點P 的坐標。
(32) 設直線 L1：
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= −
= −
=
z t
y t
x t
3
、L2：
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= −
= − −
= +
z s
y s
x s
1 2
2
(a)證明L1、L2 為歪斜線。
(b)設P(t,−t,−3t)在L1 上，Q、R 為L2 的兩相異點，且ΔPQR 為正三角形時，試
以 t 表示ΔPQR 的面積。
(c)請問當正ΔPQR 的面積最小時，P 點坐標為何？
(33) 空間中平面α：−x+y+2z−10=0，直線β：
x−2
1 =
y+2
−1 =
z−1
3
(a)求直線β與平面α的交點A 之坐標。
(b)自直線β上之點P 向平面α做垂線，垂足為Q，使ΔAPQ 之面積為
20 2
3 ，
求 P 之坐標。

綜合練習解答
(1) (a)4x−y−3z+13=0 (b)x+y+z−12=0(c)4x−6y+3z−12=0 (d)x−3y+2z=30 或
x−3y+2z=−26 (e)3x+y+10z−14=0 (f)x+y+z−9=0 (g)x+y−z+2=0
(2) (a)x=3、y=3+t、z=−1 (b)
x−9
7 =
y−8
1 =
z−7
−17 (c)
x−11
4 =
y−4
3 =
z+6
−2
(3) (A)(B)(D)
(4) (a)(D) (b)(C)
(5) (B)(D)(E)
(6) (1)(3)(5)
(7) 7 公尺
(8) (a)
26
2 (b)3x−y−4z+3=0 (c)k=3
(9) (1)(3)(5)
[解法]：
如右圖,令A(2,2,2)，若點P 符合條件要求
那麼 P 在2x−y=2 上且OP⊥AP
因此可以據此檢查選項中的點是否符合
在 2x−y=2 上且OP ·AP=0
故選(1)(3)(5)
(10) (−1,−3)
(11) (a)x+y+z−20=0 (b)(3,9,8)
[解法]：設外心O(a,b,c)，Q
⎯
OA=
⎯
OB=
⎯
OC且O 在平面ABC 上
∴(a+2)2+(b−7)2+(c−15)2=(a−1)2+(b−16)2+(c−3)2
(a−1)2+(b−16)2+(c−3)2=(a−10)2+(b−7)2+(c−3)2
a+b+c−20=0，上面三式整理成：a+3b−4c=−2，a−b=−6，a+b+c=20
聯立解得a=3，b=9，c=8。
(12) (a) x－y＋1＝0(b) H(0，1，1)
[提示：令H(x,y,z)，利用AH⋅BC=0，BH⋅AC=0，H 在平面ABC 上，找出
x,y,z 的方程式，再解x,y,z。]
(13)
60 38
19
(14) x+3y−4z+8=0 或3x−y−2=0
(15) (a)(−2,1,3) (b)(2,
3
2,
32
)
(16) (4,−1,−5) (6,−7,−7)
(17) (2,3,0)
(18) 3x−z−2=0
(19) (a) (1,2,−2) (b) (1,−1,1) (c)3
(20) (a)
2 6
3 (b)2
(21) (a)x+5y−7z+5=0 (b)
7 3
15
(22) 不會
O
A
P

(23) (a)(6,−2,5) (b)
±1
6
(c)x−2z+4=0
(24) 2x+3y−z=36
(25) Q(0,0,0)、
6 13
13
(26) (a) (
−2
3 ,
1
3 ,
53
) (b)
3x+2
1 =
3y−1
4 =
3z−5
−1 或
3x+2
3 =
3z−5
3 ， 3y=1
(c)2x−y−2z+5
(27) (a) (11,−2,5) (b)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= −
= +
z t
y t
x t
1 5
1 2
1 11
，t 為實數或
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= −
= +
= +
z t
y t
x t
1 7
1 10
1 5
，t 為實數。
[提示：因為c 與a 的夾角等於c 與b 的夾角，所以|t⋅ a |=| b |，且t>0]
(28) (a)
20
30 (b)−1<k≤0
(29) (
73
,−2,0)[提示：ΔABC 周長=
⎯
AB+
⎯
BC+
⎯
CA，而
⎯
AB為定值，因此原問題
可化為在xy 平面上找一點C，使得
⎯
BC+
⎯
CA最小，C 點為A 點對xy 平面
的對稱點A/(2,−3,−5)與B 點連線的交點.]
(30) (a)108 (b)
x6
+
y9
+
z
12=1[提示：設平面方程式為
xa
+
yb
+
zc
=1 ，因為平面過P
點⇒2
a+
3
b+
4c
=1(其中a,b,c 均為正數)，四面體OABC 的體積V=
16
abc，1=
2
a
+
3
b+
4c
≥ 3 3 2 3 4
a b c
⋅ ⋅ = 3 3 4
V
⇒V≥108，等號成立時⇔ 2
a=
3
b=
4c
=
13
⇔ a=6，
b=9,c=12]
(31) (a)20x+12y+15z=120 (b)(
43
,5,4)
[提示：令P(t,5,4)，
⎯
PE+
⎯
PC= (t−3)2+52 + t2+42 可以視為坐標平面上點(t,0)
到M(3,5)、(0,4)距離和的最小值。]
(32) (a)證明L1、L2 無交點且方向向量不平行。 (b)
1
3
(5t2+2t+
73
) (c)(
−1
5 ,
1
5,
35
)
[提示：(b)先求P 點到L2 的距離，此距離為正三角形PQR 的高，進一步
求面積]
(33) (a)A(5,−5,10) (b)P(7,−7,16)或(3,−3,4)
[解法]：
(a)令A(2+t,−2−t,1+3t)代入α的方程式，可得t=3 ⇒A(5,−5,10)。
(b)令PA=l，去求β的方向向量與α的法向量的銳夾角為θ，⇒∠PAQ=90°−θ
sin(∠PAQ)=
66
4
，由ΔAPQ 之面積為=
3
20 2 ⇒l=2 設
P(5+s,−5−s,10+3s) 因為AP=2 ⇒s=±2 ⇒P 點坐標(7,−7,16)或(3,−3,4)